Lien entre sens de variations et signe de la dérivée

Théorème  

Soit  `f`  une fonction dérivable sur un intervalle  `I`  de  `\mathbb(R)` .

• `` `f`  est croissante sur  `I` , si et seulement si, pour tout  `x\in\I` ,  \(f^{\prime}(x)\geqslant0\) . 
  
• `f`  est décroissante sur  `I` , si et seulement si, pour tout  `x\in\I` ,  \(f'(x)\leqslant0\) .  
• `` `f`  est constante sur  `I` , si et seulement si, pour tout  `x\in\I` ,  \(f'(x)=0\) .
  

Idée de la démonstration

On va donner une idée de la démonstration du sens direct dans le cas d'une fonction \(f\) croissante sur \(I\) , à savoir de l'implication : « Si   `f`  est croissante sur  `I`  alors, pour tout  `x\in\I` ,  \(f'(x)\geqslant0\) . »

Pour cela, on considère une fonction  `f`  dérivable sur un intervalle  `I`  de  `\mathbb(R)` . Pour tout réel  \(a\in I\)  et tout réel  \(h\ne0\)  tel que  \(a+h\in I\) , on a  \(f^{\prime}(a)=\lim_\limits{h \rightarrow 0}\dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}\) . 

Étudions le signe de  \(f'(a)\) sur \(I\) .

• Si  \(h>0,\) alors  \(a+h>a\) et, comme \(f\) est croissante, \(f(a+h)>f(a)\) soit \(\dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}>0\) .
  
• Si  \(h<0,\) alors  \(a+h    et, comme \(f\) est croissante, \(f(a+h) soit \(\dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}>0\) .
  

On admet qu'en « passant à la limite » ce quotient strictement positif reste positif. On a alors,  pour tout réel  \(a\in I\)  et tout réel  \(h\ne0\)  tel que  \(a+h\in I\) ,  \(f'(a)\geqslant0\) .

Remarque 1

Le sens direct peut être raffiné.

• Si, pour pour tout  `x\in\I` ,  \(f'(x)>0\) , alors \(f\)  est strictement croissante sur  `I` . 
  
• Si, pour pour tout  `x\in\I` ,  \(f'(x)<0\) , alors \(f\)  est strictement décroissante sur  `I` . 
  
• Si, pour pour tout  `x\in\I` ,  \(f'(x)=0\) , alors \(f\)  est constante sur  `I` . 
  

Remarque 2

Il existe des fonctions strictement croissantes sur  \(I\)  telles que la dérivée s'annule sur  \(I\) . C'est le cas, par exemple, de la fonction cube, définie sur  \(\mathbb{R}\) . On a :  \(f(x)=x^3\)  et  \(f'(x)=3x^2\) . La fonction  \(f\)  est strictement croissante sur  \(\mathbb{R}\)  et pourtant  \(f'(0)=0\) .

Remarque 3

Le théorème ne s'applique que sur un intervalle  \(I\) .
Par exemple, la fonction inverse  \(f(x)=1/x\)  est définie et dérivable sur chacun des intervalles \(]-\infty;0[\cup]0;+\infty[\) . On a, pour tout  \(x\ne0\) ,  \(f'(x)=-\dfrac{1}{x^2 }<0\) , mais  \(f\)  n'est pas décroissante sur  \(\mathbb{R^*}\) . Elle l'est sur  \(]-\infty;0[\)  et  sur  \(]0;+\infty[\) indépendamment.